兩個直徑不同管接在一起速度流量

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根據質量守恆定律，當不可壓縮流體通過橫截面積不均勻的通道時，質量流量保持恆定值。

在上圖中，我們可以觀察到水（本質上不可壓縮）流經的具有不同橫截面積 A1 和 A2（其中 A1>A2）的管道。

即使管道的直徑不同，由於連續性，相同數量的水通過點 1 和 2。流體在較寬區域的速度小於在狹窄區域保持的速度流量常數。

在第 1 點和第 2 點，

Q_{1}=Q_{2} 或者，

這是適用於不可壓縮流體的著名連續性方程。

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5.2 圆管中的层流

这一节继续讨论摩擦系数。

管流的发展过程

首先介绍一下层流。圆管中的层流是指沿圆管流动的流体各层之间相安无事，相邻的两层之间除了分子热运动导致的动量交换外，没有其他互动。在5.1图示中，层流的具体表现为y方向的速度为0。

5.1节中看完管流中稳定的部分（即长管中间完全发展稳定的流动）后，再来看一下靠近水龙头的那部分流动是如何发展的。

在管口处，来流的速度在y方向的分布是均匀的。

进入圆管后，管壁与流体之间存在边界层。边界层外，流体仍然维持来流的速度V；边界层内，由于动量扩散，存在速度梯度。

一开始的时候，边界层很薄，随着时间的推移，边界层越来越厚（前面提到边界层厚度 $δ$ 与时间开方 $\sqrt{t}$ 成正比，在x方向速度不变的情况下，与 $\sqrt{x}$ 成正比）。

当边界层厚度达到圆管截面半径R时，管壁的边界层汇集在一起，这样管流就算发展完全了。

需要注意的是：即使没完全发展起来，此时这个管中的流动也都是层流，各层之间只有分子动力学上的动量扩散。

摩擦系数与雷诺数

了解过程后，我们重新回到摩擦系数。

摩擦系数的表达中涉及到圆管半径R，流体密度ρ，x方向的压力梯度，来流速度V。前两个都是给定的，现在可以探究一下的是速度与压力梯度之间满足的关系。

从稳定的管流中取出一小块，进行受力分析，如下图所示：

这里有一点需要注意：上图的 $τ$ 与5.1中的 $τ_{w}$ 不同，此处分析的是流体内部的一小部分，不是5.1节中截取的整个管流的部分，因此剪应力定义为x轴的正向；此处的半径r也与管壁界面半径R不同，后面为了加以区分，我用y来表示。

根据力的平衡，得到： $τ = \frac{y}{2} \frac{d p}{d x}$ （此过程与5.1类似，只是τ的方向不同，没有负号）；

代入 $τ = μ \frac{d u}{d y}$ ，有： $μ \frac{d u}{d y} = \frac{y}{2} \frac{d p}{d x}$ ；

下面求速度u，做一个移向然后积分的处理： $\int_{0}^{u} d u = \int_{R}^{y} \frac{y}{2 μ} \frac{d p}{d x} d y$

特别注意：积分上下限要一一对应，u为0时，对应固壁，此时y=R；对于任意位置y，速度与u对应。

求积分，得到水平速度u与压力梯度满足的关系： $u = - \frac{R^{2} - y^{2}}{4 μ} \frac{d p}{d x}$ 。

从这里也能看出： $\frac{R^{2} - y^{2}}{4 μ} \geq 0$ ，在发展完全的管流中，速度方向与压力梯度方向相反。

我们在5.1节摩擦系数表达式中的V是管流截面的平均速度，因此我们要根据上面求得的u(y)，在整个截面内对速度取平均：

$V = \frac{Φ_{v}}{π R^{2}} = \frac{1}{π R^{2}} \int_{0}^{R} u (y) 2 π y d r = - \frac{1}{π R^{2}} \int_{0}^{R} 2 π y \frac{R^{2} - y^{2}}{4 μ} \frac{d p}{d x} d r = - \frac{R^{2}}{8 μ} \frac{d p}{d x}$ ;

压力梯度可以用 V这样表示： $\frac{d p}{d x} = - \frac{8 μ}{R^{2}} V$ 。

代入摩擦系数表达式，得到： $c_{f} = - \frac{R}{ρ V^{2}} \frac{d p}{d x} = \frac{8 μ}{ρ V R}$ .

这里引入流体力学中重要的无量纲数雷诺数Re的概念： $R e \equiv \frac{ρ V D}{μ} = \frac{2 ρ V R}{μ}$ ;

雷诺数的推导是量纲分析与相似律部分的内容，这里就先引入一下，它是流体惯性力与粘性力量级的比，是区分分层流和湍流（后面提到）的重要依据。

可以发现，在层流中，摩擦系数与雷诺数之间存在这样的关系： $c_{f} = \frac{16}{R e}$ 。

5.3 层流、湍流及其混合

前面已经推导出，层流中，摩擦系数与雷诺数之间满足一定的关系。

但是，观察发现，当雷诺数大于一定数值时，摩擦系数不再满足这个规律。这说明，雷诺数较大时，层流推导出的理论已经不适用了。

这是因为，当雷诺数增加时，流体各层之间已经不单单只有分子热运动这一种动量交换方式了，雷诺数增加到一定程度时，管流内流线会逐渐变得紊乱，其变化情况如下图所示：

图中第一种情况是层流中的流线，非常平稳；随着雷诺数增大，流线开始混乱，产生漩涡，但还没完全进入紊乱模式，此时的流动称为过渡流；雷诺数继续增大，流线完全混乱，出现很多漩涡，这个时候的流动就是湍流。

湍流是非定常的，它的速度分布随时间变化（如下图中第二张所示）。但是，当观察足够长的时间后，发现它时间上的的平均速度是稳定的。

从左到右依次为：层流速度场（抛物线），湍流实时速度场（不规则），湍流平均速度场（稳定，头部比抛物线宽）

对比湍流的平均速度和层流的速度场，发现靠近固壁处，湍流的变化更加“陡峭”，速度梯度更大；靠近中心轴处速度更“平坦”，速度梯度小。

此外，与层流不同的是，湍流没有分层，或者说湍流中各层的流体相互混杂，有漩涡，大大增加了流体的动量扩散速度。

二者区别的直观表现是：

层流之间较难混合，就比如吃火锅的时候向麻酱中倒蚝油，二者必须不停搅拌才能混在一起，只能通过增大接触面积以让他们见的分子热运动多一些；

湍流之间较易混合，就比如往白酒里兑水很容易混合均匀。

也就是说，湍流中动量扩散更快，因此从流体到固壁的剪应力更大，压力梯度更大。

兩個直徑不同管接在一起 速度 流量

5.2 圆管中的层流

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